"二一添作五"是数学中的一个等式，具体来说是一个关于整数和分数的等式。这个公式在代数中被称为“辗转相除法（Euclidean Algorithm）”。它的定义如下： 给定两个正整数 \(a\) 和 \(b\)，如果可以表示为 \(\gcd(a, b) = d\) 且同时满足 \(d < a, d < b\)，那么可以通过递归地使用这个公式来找到 \(d\), 使得对于任意的 \(x\)，\(d | (ax + by)\)。 用数学符号表示就是： \[ \text{gcd}(a, b) = \begin{cases} d & \text{if } a = b \\ d_1 & \text{if } a < b \\ \end{cases} \] 其中，\(d_1\) 是除数 \(d\) 使得 \(d | (ax + by)\)，同时满足 \(a = d x, b = d y\)。 这个等式表示了如何通过整数 \(a\) 和 \(b\) 的商来找到 \(d\)。在二一添作五的过程中，我们发现了一种有效的算法来确定一个正整数 \(a_1\) 使得： \[ \gcd(a, a_1) = b_1 \] 其中 \(a = a_1 + b_1\). 这个等式可以用两个方法实现： 1. 简单的方法（二一添作五）：直接找出满足条件的数，即找到 \(a\) 和 \(b\) 使得： \[ a = d, b = d, d | (2d - b) \] 2. 高效算法（通过辗转相除法）：递归地用 `gcd(a, b)` 和 `gcd(b, a % b)` 来计算 \(d\)。 这个等式和二一添作五的原理是基于两个数的最大公约数，即能够同时整除这两个数的那个数。它在代数中有着广泛的应用，尤其是在解决因式分解、数字处理和数学问题等方面。